解 一元 二次 不等式

高考数学之一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．

高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度：

(1)解一元二次不等式；

(2)已知一元二次不等式的解集求参数．

[典例引领]

解下列不等式：

(1)－2x2＋3x＋2<0；

(2)12x2－ax>a2(a∈R)．

【解】 (1)－2x2＋3x＋2<0，即为2x2－3x－2>0.

Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0.

方程2x2－3x－2＝0的两实根为x1＝－，x2＝2.

所以2x2－3x－2>0的解集为{x|x<－或x>2}，

即原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．

(2)因为12x2－ax>a2，

所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.

①当a>0时，－<，解集为；

②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；

③当a<0时，－>，解集为.

综上所述：当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.

[题点通关]

角度一 解一元二次不等式

1．解下列不等式：

(1)－3x2－2x＋8≥0；

(2)0<x2－x－2≤4.

[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，

即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，

所以原不等式的解集为.

(2)原不等式等价于

⇔

⇔⇔

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．

角度二 已知一元二次不等式的解集求参数

2．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为______．

[解析] 依题意知，

所以解得a＝－12，c＝2，

所以不等式－cx2＋2x－a>0，

即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，

解得－2<x<3.

所以不等式的解集为(－2，3)．

[答案] (－2，3)

[难点正本 疑点清源]

一元二次不等式的解集及解集的确定

一元二次不等式ax^2＋bx＋c若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax^2＋bx＋c>0(或0)的形式，其对应的方程ax^2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x10)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．

探究提高

解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．

二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系．

一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解．不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系．二次函数的图像能直观反映一元二次不等式解集的情况．

探究提高

不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．

批阅笔记

与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．本题考生易错点：忽略对m＝0的讨论．这是由思维定势所造成的．

针对性练习

【点睛第5题】此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.

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解二次不等式

……和更多……

二次式

标准型的二次方程是这样的：

这是一个等式 （=），但有时我们需要解 不等式，像这些：

解

解不等式和解方程非常相似……步骤大部分是相同的。

步骤是这样：

• 解 "=0"的点
• 在 "=0"的点之间是区间，在区间里，式子的值是
  • 大于零（>0），或
  • 小于零（<0）)
• 然后找一点来试试（是 >0 或是 <0）

例子：

例子：x2 − x − 6 < 0

x2 − x − 6 有这些简单的因式（我不想弄得太复杂！）：

(x+2)(x−3) < 0

首先，找在什么地方等于零：

(x+2)(x−3) = 0

若x = −2 或 x = +3，式子的值是等于零
因为若 x = −2，则 (x+2) 等于是零
，同时 若 x = +3，则 (x−3) 等于零

所以在 −2 和 +3 之间，式子的值一定是

• 大于 零，或
• 一定是小于零

我们暂时不知道是哪一个!

我们在区间里选一个值来试试：

当 x=0：  x2 − x − 6  =  0 − 0 − 6  
=  −6

所以在 −2 和 +3 之间，式子是 小于零。

我们正是找这个区间，所以……

在区间 (−2, 3)，x2 − x − 6 < 0

注意：在区间 (−∞,−2) 和 (3, +∞)，x2 − x − 6 > 0

这是 x2 − x − 6的图： 方程在 −2 和 3 等于零 不等式 "<0" 在 −2 和 3 之间 为真。

如果不经过零呢？

	这是 x2 − x + 1 的图 没有"=0"的点！ 其实这更容易！
因为线不和 y=0 交叉，它一定是： 永远 > 0 或 永远 < 0 所以我们只需测试一个值 （比方 x=0） 来看看是大于零还是小于零。

"实"例

特技演员将会从20米高的建筑物跳下来。

高速摄像机需要在他离地15米和10米之间拍摄。

摄像机需要在什么时候拍摄？

我们可以用以下的公式来计算距离和时间：

d = 20 − 5t2

• d = 离地距离 （米），
• t = 起跳后时间 （秒）

（注意：若你对这个公式有兴趣，它是从 d = d0 + v0t + ½a0t2 简化而来，其中 d0=20， v0=0， a0=−9.81 是重力加速度。）

我们现在开始。

首先，画一个草图：

我们需要的距离是从 10米 到 15米: 10 < d < 15 d 的公式是： 10 < 20 − 5t2 < 15

好了，来解它！

先从每边减 20:

−10 < −5t2 <−5

每边乘以 −(1/5)。我们乘以负数，所以不等式会改变方向……去解不等式看看为什么。

2 > t2 > 1

要写得整齐一点，较小的数应该在左边，较大的在右边。把它们换边（要确保不等号的方向仍然保持正确）：

1 < t2 < 2

最后，取平方根（因为所有的值都是正数，所以我们可以这样做）：

√1 < t < √2

我们终于可以告诉摄影队：

"从起跳后 1.0 到 1.4秒之间拍摄"

比二次更高的次数

同一概念可以帮我们解更复杂的不等式：

例子：x3 + 4 ≥ 3x2 + x

首先，写成标准型：

x3 − 3x2 − x + 4 ≥ 0

这是 三次方程 （最大指数是立方，x3)，很难解，所以我们 画图：

式子等于零的点大约在：

• −1.1
• 1.3
• 2.9

在图上我们也可以看到大于（或等于）零的区间：

• 从 −1.1 到 1.3，和
• 从 2.9 以后

以区间记法来写，这是：

大约： [−1.1, 1.3] U [2.9, +∞)