最小變異數投資組合 公式

在掌握投资组合优化基本理论后，通过本次上机试验进行实践操作，本次上机试验选取苹果公司股票（股票代码：AAPL）和宝洁公司（股票代码：PG）作为投资组合进行研究分析，股票数据从Yahoo Finance官网中下载，以一个月作为步长选取2014年至2019年的股票收盘价数据。

在试验中，需要计算个股的收益率、方差、标准方差三个指标的平均值，方差和标准差表示数据的波动情况，反映个股的风险，其中收益率=（该月数据-上月数据）/上月数据，计算得到两支股票的收益率后，方差通过Excel自带的VAR函数框选股票收益率数据后求得，标准差则通过STDEV函数框选股票收益率数据后求得，也可以通过SQRT函数计算以求得的方差的平方根。除了上述个股指标外，还需要计算两支股票收益率的协方差和相关系数，在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差，当两个变量的变化趋势一致，两个变量之间的协方差就是正值，如果两个变量的变化趋势相反，那么两个变量之间的协方差就是负值，协方差可以通过Excel自带的COVARIANCE函数框选数据后计算得到。接着计算相关系数，该指标取值范围为[-1,1],如果相关系数为-1，则两个变量完全不相关，如果相关系数为1,则两个变量完全相关，相关系数的计算可以通过调用EXCEL的CORREL函数计算得到。

由这两只股票组成的投资组合中，苹果公司股票的投资占比X1为x%,则宝洁公司股票X2的投资金额占比为1-x%,苹果公司股票的投资占比为唯一变量，接着需要计算投资组合的收益率、方差、标准差，投资组合的期望收益率公司计算公式为Portfolio return=X1E(r1)+X2E(r2),其中对应r1、r2表示所选取的对应个股的收盘价数据。投资组合的方差的计算公式为Portfolio Variance=X1^2Var(r1)+X2^2Var(r2)+2X1X2Cov(r1,r2),投资组合的标准差即投资组合的标准差。

将投资组合的收益率、方差、标准差进行可视化，选用散点图将数据标注在坐标系中，选取数据源，将投资组合的标准差（风险）作为自变量，将投资组合对的标准差作为因变量，散点图上的每一个点代表一个投资组合方案的相关情况。

   接着绘制资产组合配置线，需要使用Data Table,选取苹果公司股票的投资占比作为Data Table的column input cell，以5%作为步长从0%递增至100%。计算结果如下

   通过散点图选取数据，选取数据上图中的P_risk作为x轴数据，P_Er作为y轴数据

使用连线将点相连，将该曲线称之为投资组合配置线。在该图中，存在部分点不用承担更多的风险就可以得到更多的收益，通过最小方差点的水平直线之下的点都是劣质的方案，而之上的点为优质方案。最小方差点可以通过求解投资组合配置线所表示的函数一阶导数为0的情况得到，在Excel中可以通过Solver求解，将投资组合的方差的单元格作为Solver的Set Object,在By Changing Variable Cells参数选择苹果公司股票投资占比，选择方法上使用非线性求解。

最小方差点在图中表示如下，通过最小方差点的水平线之上的点（包括最小方差点）所组成的边界称为投资组合有效前沿，作为理性投资者应该选取投资组合有效前沿上的方案，可以根据自身的风险偏好选取投资方案。

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