开普勒第二定律证明

中文名开普勒第二定律外文名Kepler's second law别    名面积定律表达式R1·V1·sinφ1=R2·V2·sinφ2提出者约翰尼斯·开普勒提出时间1609年适用领域一切绕心的天体运动；经典力学；经典天文学应用学科物理学；天文学；天体物理学；天体力学记载著作《新天文学》

约翰内斯·开普勒在《新天文学》中的原始表述：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。 [2] 

表述为：中心天体与环绕天体的连线（称矢径） [3]  在相等的时间内扫过相等的面积。即：

对于二体问题，如图1所示，记二天体质量分别为m1、m2，二体间的距离为r，二体到原点的位置向量依次记为r1，r2。则，二体间的引力作用为：

对上式相减，记

对其积分，可得：

由一式可以看出，这一定律实质为有心力场下二体问题的角动量守恒。

对于处在较大引力场中的行星，如水星，会出现近日点进动的现象，此时开普勒第二定律需要用广义相对论加以修正。具体为：

1915年，爱因斯坦根据广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力场中的运动，由于太阳的质量造成周 围空间发生弯曲，使行星每公转一周近日点进动为：

其中a为行星轨道的长半轴，c为光速，e为轨道偏心率，T为公转周期。对于水星，计算出ε=43″/百 年。 [5] 

1、开普勒第二定律不只适用于引力环境下，对一切的有心力场二体问题都适用。 [4] 

2、

3、在二体问题中，两个天体环绕共同的质心运动。若将其中一个天体视为静止时，可以使用约化质量。

对于m2物体，对其采用约化质量简化前后的其面积速度之比为

4、由该定律可以发现，地球等行星在近日点速度快，远日点速度慢 [7] 

记

丹麦天文学家第谷·布拉赫死后，留下20多年的观测资料和一份精密星表。第谷提出了一种介于地心说和日心说之间的学说，在17世纪传入我国，并产生重大影响。在没有天文望远镜的情况下，第谷对天体方位进行了几十年的观测，凭借着惊人的毅力和耐心，积累了大量的精确材料，开普勒的发现，就是通过归纳分析这些材料得出的。

开普勒认为通过对第谷的记录做仔细的数学分析可以确定哪个行星运动学说正确的：哥白尼日心说，古老的托勒密地心说，或者是第谷本人提出的第三种学说。但是经过多年仔细的计算和研究，他发现这三种学说与第谷的星表和观测数据都不符合。

约翰内斯·开普勒

当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗了。原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果。后来他发现，火星运行速度是不匀的，当它离太阳较近时运动得较快(近日点),离太阳远时运动得较慢(远日点)。

开普勒发现该问题后，经过精准刻苦的计算，他发现：在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相等。这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。 [8] 

这两条定律刊布在1609年出版的《新天文学》(又名《论火星的运动》)中，该书还指出两定律同样适用于其他行星和月球的运动。

开普勒第二定律，或者是用几何语言，或者是用方程，将行星的坐标及时间跟轨道参数相连结。有效解决了对于天体运动规律的解释。在研究天体的运动中，利用牛顿的力学和开普勒三大定律的有效结合，可以预测天体的运行轨道、运动速度、旋转周期，从而能够预测某一时刻到天体在空间中的位置，能够应用到天体探测、卫星发射等领域。 [9] 

开普勒定律一经确立，本轮系彻底垮台，天体运动不再无规律可循，开普勒定律成了天空世界的“法律”。后世学者尊称开普勒为“天空立法者”。 [9] 

首先，开普勒定律在科学思想上既有重要影响。其表现出的无比勇敢的创造精神和质疑精神激励着后来的学者们勇于创新，勇于质疑。

其次，开普勒第二定律和开普勒第一定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。 [9] 

第三，包括开普勒第二定律在内的开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的、可以计算的系统。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。 [9] 

埃德蒙·哈雷 （Edmond Halley，1656年11月8日—1742年1月14日），出生于英国伦敦，英国天文学家、地理学家、数学家、气象学家和物理学家，曾任牛津大学几何学教授，第二任格林尼治天文台台长。他把牛顿定律应用到彗星运动上，并正确预言了那颗现被称为哈雷的彗星作回归运动的事实，他还发现了天狼星、南河三和大角这三颗星的自行及月球长期加速现象。

中文名埃德蒙·哈雷外文名Edmond Halley国    籍英国出生日期1656年11月8日（丙申年）逝世日期1742年1月14日毕业院校牛津大学王后学院职    业天文学家主要成就成功预言了哈雷彗星的回归
发现了月球的长期加速现象出生地英国伦敦信    仰无神论者代表作品《彗星天文学论说》

埃德蒙·哈雷 （Halley, Edmond）英国天文学家，出生于1656年的英国，20岁毕业于牛津大学王后学院。此后，他放弃了获得学位的机会，去圣赫勒纳岛建立了一座临时天文台。在那里，哈雷仔细观测天象，编制了第一个南天星表，弥补了天文学界原来只有北天星表的不足。哈雷的这个南天星表包括了381颗恒星的方位，它于1678年刊布，当时他才22岁。他把牛顿定律应用到彗星运动上，并正确预言了那颗现被称为哈雷的彗星作回归运动的事实。

1687年的哈雷画像。

哈雷绘制的磁偏角地图

哈雷作为船长，在航海归来后，绘制了一张显示大西洋各地磁偏角的地图。磁偏角即指南针指示的北方与实际正北方的夹角，我国宋代科学家沈括首先发现磁偏角现象。哈雷在十四五岁时就对这现象感兴趣了，当时还亲手测量了几次。三十多年后，在经历海上、船上重重艰辛后，这张实用又美观的地图问世了。它是第一张绘有等值线的图。图上每条曲线经过的点，磁偏角的值都是相同的。今天我们常看到的等高线地形图、有等气压线的天气图，其实都来自哈雷的创意。等值线在当时被称为“哈雷之线（Halleyan Lines）”。 [1] 

如果有人拿出个难题请教哈雷，哈雷一定会用一切方法去解决它。比如说，一个皇家学会成员约翰·霍顿问道：怎样才能合理而准确地测量出英格兰和威尔士的总面积呢？版图是不规则的，直接对着地图，用尺子测量再计算显然太费功夫了。对这个复杂的问题，哈雷用了一种独特的方式轻松搞定了。他找来了当时最精确的地图，贴在一块质地均匀的木板上，然后小心地沿着边界把地图上的英格兰和威尔士切下来，称其重量；再切下一块面积已知的木板（如10cm*10cm），称其重量。两块的重量之比也就是它们的面积之比，所以英格兰和威尔士在地图的面积可以很容易算出。再根据比例尺进行放大，就可知两地区的实际面积了。他得出的结果和现在用高科技手段测量出的面积惊人吻合。这种方法也可以在某些科学竞赛中找到踪影。

然而，尽管他取得了这么多的成就，但他对人类知识的最大贡献也许只在于他参加了一次科学上的打赌。赌注不大，对方是那个时代的另外两位杰出人物。一位是罗伯特·胡克，人们现在记得最清楚的兴许是他描述了细胞；另一位是伟大而又威严的克里斯托弗·雷恩爵士，他最早其实是一位天文学家，后来还当过建筑师，虽然这一点人们现在往往不大记得。1683年，哈雷、胡克和雷恩在伦敦吃饭，突然间谈话内容转向天体运动。据认为，行星往往倾向于以一种特殊的卵行线即以椭圆形在轨道上运行。用理查德·费曼的话来说，"一条特殊而精确的曲线"。但不知道什么原因。雷恩慷慨地提出，要是他们中间谁能找到个答案，他愿意发给他价值40先令（相当于两个星期的工资）的奖品。胡克以好大喜功闻名，尽管有的见解不一定是他自己的。他声称他已经解决了这个问题，但现在不愿意告诉大家，他的理由有趣而巧妙，说是这么做会使别人失去自己找出答案的机会。因此，他要"把答案保密一段时间，别人因此会知道怎么珍视它"。没有迹象表明，他后来有没有再想过这件事。可是，哈雷着了迷，一定要找到这个答案，还于次年前往剑桥大学，冒昧拜访该大学的数学教授艾萨克·牛顿，希望得到他的帮助。1684年8月，哈雷不请自来，登门拜访牛顿。他指望从牛顿那里得到什么帮助，我们只能猜测。但是，多亏一位牛顿的密友--亚伯拉罕·棣莫佛后来写的一篇叙述，我们才有了一篇有关科学界一次最有历史意义的会见的记录：1684年，哈雷博士来剑桥拜访。他们在一起待了一会儿以后，博士问他，要是太阳的引力与行星离太阳距离的平方成反比，他认为行星运行的曲线会是什么样的。这里提到的是一个数学问题，名叫平方反比律。哈雷坚信，这是解释问题的关键，虽然他对其中的奥妙没有把握。艾萨克·牛顿马上回答说，会是一个椭圆。博士又高兴又惊讶，问他是怎么知道的。"哎呀，"他说，"我已经计算过。"接着，哈雷博士马上要他的计算材料。艾萨克爵士在材料堆里翻了一会儿，但是找不着。这是很令人吃惊的--犹如有人说他已经找到了治愈癌症的方法，但又记不清处方放在哪里了。在哈雷的敦促之下，牛顿答应再算一遍，便拿出了一张纸。他按诺言做了，但做得要多得多。有两年时间，他闭门不出，精心思考，涂涂画画，最后拿出了他的杰作：《自然哲学的数学原理》。并且，哈雷自费为牛顿出版了这本书。

不过，很快哈雷自己就遇到了烦恼。从1680年起，他对开普勒的行星运动定律产生了疑问，询问胡克和皇家学会的一些会员时，无人能解答。1684年8月，哈雷带着这个在婚前婚后整整困惑了他四年的问题，前往剑桥找到牛顿。牛顿告诉眼前比自己小14岁的求教者，自己几年前已经知道答案了，只是没有发表而已。哈雷的困惑就此画上了句号，他和牛顿的交往则刚刚开始，科学史上一本划时代的著作也即将诞生。性格怪异的牛顿不愿意发表自己的观察和研究所得，在哈雷游说下，牛顿开始写《自然哲学的数学原理》一书，皇家学会也同意印行。此书的编辑、校对和序言撰写，更是由哈雷亲自完成。万事俱备之时，皇家学会却无法筹集资金，哈雷于是自掏腰包。为了让该书被更多的人接受，哈雷甚至致信当时的国王，作了深入浅出的介绍。1687年出版的这本书，成为牛顿最著名的著作。哈雷也开始用牛顿的万有引力定律来研究彗星。 [2] 

1691年牛津大学的校园里有些不太平静。英国皇家学会会员哈雷，正一心谋求牛津大学萨维尔天文学讲席教授职位，这遭到坎特伯雷大主教的反对。在同年上任的大主教眼里，这个著名的无神论者，断然不能获此职位。35岁的哈雷已是颇负盛名的天文学家，9年前他曾观察到夜空中一颗像扫帚一样的星星，拖着长长的尾巴。但大主教来头更大，他早已获得国王玛丽二世的信任。面对来自“离国王最近的人”的压力，牛津大学的职位最终给了牛顿支持的一位数学家。哈雷的愿望落空了。当他在15年前毅然离开时，这个毛头小伙子没料到，重返母校竟变得如此之难。

（2）1676年到南大西洋的圣赫勒纳岛测定南天恒星的方位，完成了载有341颗恒星精确位置的南天星表，记录到一次水星凌日，还作过大量的钟摆观测（南半球钟摆旋转的方向与北半球相反）。同年，建立了南半球第一个天文台 [3]  。

（3）1678年哈雷被选为皇家学会成员，并荣获牛津大学硕士学位 [1]  ；

（4）1684年，他到剑桥向牛顿请教行星运动的力学解释，在哈雷研究取得进展的鼓舞下，牛顿扩大了他对天体力学的研究；

（5）哈雷具有处理和归算大量数据的才能，1686年，他公布了世界上第一部载有海洋盛行风分布的气象图；

（6）1693年，发布了布雷斯劳城的人口死亡率表，首次探讨了死亡率和年龄的关系；

（7）1701年，他根据航海罗盘记录，出版了大西洋和太平洋的地磁图，1704年，他晋升为牛津大学几何学教授；

（8）1705年，哈雷出版了《彗星天文学论说》，书中阐述了1337-1698年出现的24颗彗星的运行轨道，他指出，出现在1531、1607和1682年的三颗彗星可能是同一颗彗星的三次回归，并预言它将于1758年重新出现，这个预言被证实了，这颗彗星也得到了名字－哈雷彗星；

（9）1716年他设计了观测金星凌日的新方法，希望通过这种观测能精确测定太阳视差并由此推算出日地距离；

哈雷之墓。

哈雷彗星纪念邮票，哈雷的形象被艺术再现

此外，哈雷发现了恒星的自行，这又是一个重大发现。哈雷还提出利用金星凌日的机会，去测定日、地距离，为当时精确测定地球与太阳的距离提供了很好的方法。他还发现了月亮运动的长期加速现象，为精密研究地、月系的运动作了重要贡献。

哈雷有许多有意思的绰号。当年他出色地绘制了南天星图，于是当时的英国皇家天文学家弗拉姆斯蒂德（John Flamsteed）便叫他“南天第谷（Our Southern Tycho）”。第谷是丹麦天文学家，他用肉眼精确测量了北天777颗恒星的位置，并发掘出了后来成为“星空立法者”的开普勒。Flamsteed也以观测精确著称，第谷自然成为他心中至高的偶像。22岁的哈雷竟被性格严肃刻板的Flamsteed毫不吝啬地誉为“南天第谷”，其天文才华可见一斑。

可是，几十年后，哈雷从Flamsteed那里得来了另一个性质完全不一样的绰号“雷霉儿（Raymer）”。这是怎么回事呢？

说起来，Flamsteed和第谷确实有很多共同点。第谷发掘了开普勒，而在某种意义上，Flamsteed发掘了哈雷。格林尼治天文台刚准备建设那会儿，Flamsteed作为被制定的天文台第一任台长，找到牛津大学去选助手。当时正在上大二的哈雷在同龄人中脱颖而出，从此逐渐成为公众的焦点。

John Flamsteed

从此这两个昔日志同道合的人变成了针尖对麦芒的冤家，互相打着笔墨官司，谁也不让谁。其实哈雷是个大方的人，口才又好，几乎成了皇家学会的“专业调解员”。胡克和海维留（Hevelius）之争、牛顿和胡克之争、牛顿和莱布尼茨之争，都是有了哈雷的劝说才稍显平息（尽管后两者最终还是酿成悲剧）。但哈雷容忍不了Flamsteed，在他眼里Flamsteed简直是个嫉妒心极强、吃饱了撑的欺负后辈，脾气又怪异的家伙。

而Flamsteed则认为哈雷浮夸自负，没真本事，只靠发挥想像力、拉关系，就在皇家学会里混。更重要的是，哈雷貌似对神不敬。其实哈雷不过是试图用科学道理解释《圣经》里的一些奇异事件，比如大洪水。

与此同时，Flamsteed仍以第谷自况，他觉得自己的境遇和第谷简直有异曲同工之妙。第谷也有个针尖对麦芒型的冤家，叫Raymers。但Flamsteed可不敢自夸说自己就是第二代第谷啊，他只好说他的冤家哈雷是第二代Raymers，简称Raymer，似乎这样一来也就间接证明了自己和第谷有缘。

可是Flamsteed能和第谷比吗？显然不能。第谷发掘开普勒的故事被传为佳话；而Flamsteed被他发掘的哈雷最后却闹成这副样子，叫人摇头叹息，情何以堪哪。

不过不管怎样，“南天第谷”和“雷霉儿”这两个绰号都挺来之不易的，浓缩了两个人之间的戏剧性的传奇。

现在，人们（尤其在西方）谈到哈雷，习惯性地不直呼其名，而是叫他“彗星男（The Comet Man）”。当然，在其他书中，我们可以看到，哈雷还是“潮汐王子（Prince of Tides）”，“地球物理学之父（Father of Geophysics）”等等。

除此之外，哈雷曾涉猎数学、地球物理、考古学等，但一颗彗星的光芒，似乎已完全笼罩了他身后漫长的岁月。很少有人知道，1693年哈雷发表的一篇关于死亡年龄分析的文章，为英国政府出售寿险时确定合理的价格，提供了坚实基础。 [1]  据说，这是有关社会统计学的开创性工作，甚至对后来的人寿保险业影响不小。