高考数学之一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法是高考的常考内容,题型多为选择题或填空题,难度为中档题.
高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度:
(1)解一元二次不等式;
(2)已知一元二次不等式的解集求参数.
[典例引领]
解下列不等式:
(1)-2x2+3x+2<0;
(2)12x2-ax>a2(a∈R).
【解】 (1)-2x2+3x+2<0,即为2x2-3x-2>0.
Δ=(-3)2-4×2×(-2)=25>0.
方程2x2-3x-2=0的两实根为x1=-,x2=2.
所以2x2-3x-2>0的解集为{x|x<-或x>2},
即原不等式的解集为{x|x<-或x>2}.
(2)因为12x2-ax>a2,
所以12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.
令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.
①当a>0时,-<,解集为;
②当a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R,且x≠0};
③当a<0时,->,解集为.
综上所述:当a>0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};当a<0时,不等式的解集为.
[题点通关]
角度一 解一元二次不等式
1.解下列不等式:
(1)-3x2-2x+8≥0;
(2)0<x2-x-2≤4.
[解] (1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0,
即(3x-4)(x+2)≤0.解得-2≤x≤,
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴,如图所示,
原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.
角度二 已知一元二次不等式的解集求参数
2.已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为,则不等式-cx2+2x-a>0的解集为______.
[解析] 依题意知,
所以解得a=-12,c=2,
所以不等式-cx2+2x-a>0,
即为-2x2+2x+12>0,即x2-x-6<0,
解得-2<x<3.
所以不等式的解集为(-2,3).
[答案] (-2,3)
[难点正本 疑点清源]
一元二次不等式的解集及解集的确定
一元二次不等式ax^2+bx+c若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为ax^2+bx+c>0(或0)的形式,其对应的方程ax^2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2,(x10),则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集.
探究提高
解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.
二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系.
一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解.不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系.二次函数的图像能直观反映一元二次不等式解集的情况.
探究提高
不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键.
批阅笔记
与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.本题考生易错点:忽略对m=0的讨论.这是由思维定势所造成的.
针对性练习
【点睛第5题】此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.
我是杨老师,高中数学、高考教育二十年,不定期推出经典题分析,高考模拟题选讲,高一高二都适用,敬请关注!如果觉得对你有益的话请点个赞吧,欢迎收藏与分享,感谢。图片新闻
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解二次不等式
……和更多……
二次式
标准型的二次方程是这样的:
标准型的二次方程
(a、b 和 c可以是任何值,除了 a 不能是 0。)
这是一个等式 (=),但有时我们需要解 不等式,像这些:
> | 大于 | x2 + 3x > 2 | ||
< | 小于 | 7x2 < 28 | ||
≥ | 大于或等于 | 5 ≥ x2 − x | ||
≤ | 小于或等于 | 2y2 + 1 ≤ 7y | ||
解
解不等式和解方程非常相似……步骤大部分是相同的。
解方程时,我们尝试找 点,例如 在图中标签为 "=0"的 |
但当我们解不等式时, 我们尝试找区间, 像图中标签为 "<0"的 |
步骤是这样:
- 解 "=0"的点
- 在 "=0"的点之间是区间,在区间里,式子的值是
- 大于零(>0),或
- 小于零(<0))
- 然后找一点来试试(是 >0 或是 <0)
例子:
例子:x2 − x − 6 < 0
x2 − x − 6 有这些简单的因式(我不想弄得太复杂!):
(x+2)(x−3) < 0
首先,找在什么地方等于零:
(x+2)(x−3) = 0
若x = −2 或 x = +3,式子的值是等于零
因为若 x = −2,则 (x+2)
等于是零
,同时 若 x = +3,则 (x−3) 等于零
所以在 −2 和 +3 之间,式子的值一定是
- 大于 零,或
- 一定是小于零
我们暂时不知道是哪一个!
我们在区间里选一个值来试试:
当 x=0: x2 − x − 6 = 0 − 0 − 6
= −6
所以在 −2 和 +3 之间,式子是 小于零。
我们正是找这个区间,所以……
在区间 (−2, 3),x2 − x − 6 < 0
注意:在区间 (−∞,−2) 和 (3, +∞),x2 − x − 6 > 0
这是 x2 − x − 6的图:
|
如果不经过零呢?
这是 x2 − x + 1 的图 没有"=0"的点! 其实这更容易! | |
因为线不和 y=0 交叉,它一定是:
所以我们只需测试一个值 (比方 x=0) 来看看是大于零还是小于零。 |
"实"例
特技演员将会从20米高的建筑物跳下来。
高速摄像机需要在他离地15米和10米之间拍摄。
摄像机需要在什么时候拍摄?
我们可以用以下的公式来计算距离和时间:
d = 20 − 5t2
- d = 离地距离 (米),
- t = 起跳后时间 (秒)
(注意:若你对这个公式有兴趣,它是从 d = d0 + v0t + ½a0t2 简化而来,其中 d0=20, v0=0, a0=−9.81 是重力加速度。)
我们现在开始。
首先,画一个草图:
我们需要的距离是从 10米 到 15米: 10 < d < 15 d 的公式是: 10 < 20 − 5t2 < 15 |
好了,来解它!
先从每边减 20:
−10 < −5t2 <−5
每边乘以 −(1/5)。我们乘以负数,所以不等式会改变方向……去解不等式看看为什么。
2 > t2 > 1
要写得整齐一点,较小的数应该在左边,较大的在右边。把它们换边(要确保不等号的方向仍然保持正确):
1 < t2 < 2
最后,取平方根(因为所有的值都是正数,所以我们可以这样做):
√1 < t < √2
我们终于可以告诉摄影队:
"从起跳后 1.0 到 1.4秒之间拍摄"
比二次更高的次数
同一概念可以帮我们解更复杂的不等式:
例子:x3 + 4 ≥ 3x2 + x
首先,写成标准型:
x3 − 3x2 − x + 4 ≥ 0
这是 三次方程 (最大指数是立方,x3),很难解,所以我们 画图:
式子等于零的点大约在:
- −1.1
- 1.3
- 2.9
在图上我们也可以看到大于(或等于)零的区间:
- 从 −1.1 到 1.3,和
- 从 2.9 以后
以区间记法来写,这是:
大约: [−1.1, 1.3] U [2.9, +∞)